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数据结构之探索“堆”的奥秘
2024-08-20 18:00:08基础资料围观144次
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所属专栏：数据结构（Java版）
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堆的概念
如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储（从上到下、从左到右）在 一个一维数组 中，并满足：Ki <= K(2i+1) 且 Ki<=K(2i+2) (Ki >= K(2i+1) 且 Ki >= K(2i+2) ) i = 0，1，2…，则称为 小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
注意：Ki <= K(2i+1) 且 Ki<=K(2i+2) 这个公式就是说明根结点的值小于等于左右孩子节点的值，即小根堆或者最小堆。与其相反就是根结点的值大于等于左右孩子节点，即大根堆或者最大堆。
堆的性质：
1、堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
例如：小根堆就是根结点的值小于等于孩子节点的值，也就是说孩子节点的值大于等于根结点的值，也就对应了孩子节点不小于其父节点；反之，就是大根堆的性质了。
2、堆总是一棵完全二叉树。
因为堆是把数据按照完全二叉树的方式存储在一个一维数组中的。
3、堆的根结点总是这个一维数组中的最值，要么是最大值，要么是最小值。
如果是大根堆，按照 性质1 的推论就是：根结点的值大于等于孩子节点的值。这样一直递归下去，根结点肯定就是最大的。最坏情况就是所有结点的值全部相等。
4、堆的存储结构是一个一维数组，但是其逻辑结构是一个完全二叉树。
为什么不能是一个普通的二叉树呢？因为普通的二叉树会有空节点（空树），这样在数组中就会null元素的存在，导致了空间利用率比较低。
堆的创建
现有一组数据 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 我们要把这组数据组织成大根堆。
public class Heap {
int[] elem;
int usedSize;
public Heap(int k) {
elem = new int[k];
}
public Heap() {
elem = new int[10];
}
// 给堆初始化数据
public void initHeap(int[] array) {
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
elem[i] = array[i];
usedSize++;
}
}
}思路：大根堆的特点是根结点的值大于左右孩子节点的值。这里采用的是一种向下调整的方法。
即从最后一棵树的根结点位置开始进行调整大根堆，一直调整到整棵树的根结点满足大根堆。
// 创建大根堆
public void createHeap() {
// 从最后一棵子树的根结点位置开始
for (int parent = (usedSize-1-1)/2; parent >= 0 ; parent--) {
// 向下调整的方法：从要调整的位置开始，到整棵树结束
siftDown(parent, usedSize);
}
}
private void siftDown(int parent, int usedSize) {
int child = parent * 2 + 1;
// 只有当孩子节点在有效数据之内时，才能调整
while (child < usedSize) {
// 先找到左右孩子节点的最大值
if (child+1 < usedSize && elem[child] < elem[child+1]) { // 得确保右孩子存在
child++;
}
// 比较孩子节点的最大值和根结点的值
if (elem[parent] < elem[child]) {
// 交换
swap(elem, parent, child);
// 交换完成只是本级满足了大根堆的条件，但是交换下去的值不一定满足当级的大根堆条件
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
} else {
// 满足大根堆就不需要继续调整了
break;
}
}
}
private void swap(int[] elem, int i, int j) {
int tmp = elem[i];
elem[i] = elem[j];
elem[j] = tmp;
}这里可能有几个小伙伴们疑惑的地方：
1、为什么交换完成之后还要再进行向下调整判断是否需要交换？
总而言之就是一句话：参与调整的，就得再次进行判断是否符合大根堆。
2、为什么本级满足大根堆的情况后，就不需要继续往下判断是否调整？
因为我们是从下面开始调整的，如果本级满足了大根堆，那么下面的就一定也满足大根堆。因此就无需继续判断了。
时间复杂度分析：
将上面的所有结果相加，就是最终的时间复杂度。
因此向下调整建堆的时间复杂度是：O(N)。
堆的插入与删除
堆的插入：
思路：因为堆在存储上是一个数组，那么我们肯定是按照插入数组元素的方法来进行插入，即尾插。尾插完之后，还得进行判断这个新的堆是否是大根堆。因为这个的判断方式是从插入的节点开始往上判断，因此这个判断是向上调整。
public void offer(int val) {
// 插入的元素放到最后，然后其所在的树进行向上调整
// 判满，扩容
if (isFull()) {
elem = Arrays.copyOf(elem, elem.length*2);
}
elem[usedSize++] = val;
siftUp(usedSize-1, 0);
}
private boolean isFull() {
return usedSize == elem.length;
}
private void siftUp(int child, int end) {
// 因为原来是满足大根堆的，因此我们只需要判断这个新插入的元素是否也满足
int parent = (child-1) / 2;
while (parent >= end) {
if (elem[child] > elem[parent]) {
// 交换
swap(elem, child, parent);
child = parent;
parent = (child-1) / 2;
} else {
// 因为原来是满足大根堆的，如果这个也满足，那么就全部满足了
break;
}
}
}有了插入方法，我们也就可以通过插入来创建堆了。
注意：我们手动创建堆的方法是采用向下调整，而插入元素采用的是向上调整。因此，两者创建出来的堆结果会不一样，但都是大根堆。
向上调整建堆的时间复杂度分析：
与向下调整相比，向上调整还要把最后一层的节点全部调整，因此，向上调整的时间复杂度肯定是大于向下调整的。
向上调整建堆的时间复杂度O(N+logN) 。
堆的删除：
思路：堆的删除，我们采取的方式也和数组类似，是把堆顶元素与最后一个元素交换，再进行向下调整。
public int poll() {
// 判空，抛异常
if (isEmpty()) {
throw new HeapIsEmptyException("堆为空异常");
}
int val = elem[0];
swap(elem, 0, usedSize-1);
siftDown(0, usedSize-1);
usedSize--;
return val;
}
private boolean isEmpty() {
return usedSize == 0;
}堆的删除的时间复杂度：O(logN)。
交换完，向下调整就只调整树的高度，也就是logN。
堆的插入的时间复杂度：O(logN)。
插在最后，然后进行向上调整，也是调整树的高度。
获取堆顶元素：
public int peek() {
if (isEmpty()) {
throw new HeapIsEmptyException("堆为空异常");
}
return elem[0];
}看到这里，我们就应该可以猜出堆和队列是有关系的，否则，不会把队列的方法名给堆。堆这种数据结构可以实现优先级队列。
优先级队列
通过堆的性质3，我们就可以推出一个结论：如果我们每次从堆中删除数据一定删除的是优先级最高的。如果是小根堆，那么就是删除最小值，如果是大根堆，那么删除的就是最大值。即优先级最高的先被删除。这就对应了队列中的一个特殊队列：优先级队列。实际上JavaAPI中优先级队列底层就是通过堆来实现的。
PriorityQueue的特性
1、使用时必须导入PriorityQueue所在的包，即：
import java.util.PriorityQueue;2、PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出 ClassCastException异常。
因为堆中的元素是需要可以比较大小。否则，无法判别优先级。
3、不能插入null对象，否则会抛出NullPointerException。
因为我们去比较的时候，是通过对象调用专属的比较方法，如果对象为null，就会发生空指针异常。
4、PriorityQueue默认情况下是小堆---即每次获取到的元素都是最小的元素。
5、其内部可以自动扩容，无需我们主动实现。
PriorityQueue源码分析
PriorityQueue常用接口介绍
构造方法：
| 构造器 | 功能介绍 |
| PriorityQueue() | 创建一个空的优先级队列，默认容量是11 |
| PriorityQueue(int initialCapacity) | 创建一个初始容量为initialCapacity的优先级队列，注意： initialCapacity不能小于1，否则会抛IllegalArgumentException异常 |
| PriorityQueue(Collection c) | 用一个集合来创建优先级队列 |
使用：
public class Test {
public static void main(String[] args) {
// 创建一个优先级队列，默认容量11
PriorityQueue<Integer> priorityQueue1 = new PriorityQueue<>();
// 创建一个优先级队列，容量是20
PriorityQueue<Integer> priorityQueue2 = new PriorityQueue<>(20);
List<Integer> list = new ArrayList<>();
list.add(1);
list.add(2);
list.add(3);
list.add(4);
list.add(5);
// 创建一个优先级队列（容量根据list的大小来分配）
PriorityQueue<Integer> priorityQueue3 = new PriorityQueue<>(list);
// 长度
System.out.println(priorityQueue3.size());
// 小根堆
System.out.println(priorityQueue3.poll());
}
}这里的“容量根据list的大小来分配”的意思是：本来的默认容量是11，如果list的长度大于11，那么就会按照2倍或者1.5倍去扩容。
插入/删除/获取优先级最高的元素
| 函数名 | 功能介绍 |
| boolean offer(E e) | 插入元素e，插入成功返回true，如果e对象为空，抛出NullPointerException异常，时间复杂度O(log2 N)，注意：空间不够时候会进行扩容 |
| E peek() | 获取优先级最高的元素，如果优先级队列为空，返回null |
| E poll () | 移除优先级最高的元素并返回，如果优先级队列为空，返回null |
| int size() | 获取有效元素的个数 |
| void clear() | 清空 |
| boolean isEmpty() | 检测优先级队列是否为空，空返回true |
堆的应用
1、PriorityQueue的实现。
2、堆排序。
不同的顺序，建立不同的堆，但是一定是后面的元素先有序，再是前面的元素有序。
因此我们就可以知道：如果是从小到大排序，那么就要建大根堆；反之，则是建小根堆。
因为 如果是从小到大排序，且后面的元素先有序，那么后面的元素只能是最大的，因此建立大根堆的话，堆顶元素一定是最大的。这时，我们只需把堆顶元素和最后一个元素进行交换，然后再进行向下调整，直至调整到整棵树的根节点。
代码实现：
public void heapSort() {
int j = 0;
for (int i = usedSize-1; i > 0; i--) {
swap(elem,i,j);
siftDown(0, i);
}
}3、Top-k问题
TOP-K问题：即求数据集合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大，且K都比较小。
例如：全球前500强的企业。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
如果是要找前K个最小的元素，将前K个元素建成大根堆，然后再去遍历后N-K个元素，遇到小于堆顶元素的就交换，遍历完成后剩下的堆中元素就是前K个最小的。
题目：
设计一个算法，找出数组中最小的k个数。以任意顺序返回这k个数均可。
示例：
输入： arr = [1,3,5,7,2,4,6,8], k = 4 输出： [1,2,3,4]提示：
0 <= len(arr) <= 1000000 <= k <= min(100000, len(arr))
思路一：直接排序，然后遍历前K个即可。
public int[] smallestK(int[] arr, int k) {
// 调用JavaAPI提供的方法才行，自己实现的方法会超出时间限制
Arrays.sort(arr); // 默认是从小到大排序
int[] ret = new int[k];
for (int i = 0; i < k; i++) {
ret[i] = arr[i];
}
return ret;
}
思路二：将N个元素建成小根堆，然后每次取堆顶元素，取K次即可。
public int[] smallestK(int[] arr, int k) {
PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>();
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
priorityQueue.offer(arr[i]);
}
// 上面是建成的小根堆
int[] ret = new int[k];
for (int i = 0; i < k; i++) {
ret[i] = priorityQueue.poll();
}
return ret;
}思路三：取前K个元素建成大根堆，然后再遍历剩下的元素，如果小于堆顶元素，则交换。
class Solution {
public int[] smallestK(int[] arr, int k) {
int[] ret = new int[k];
if (k == 0 || arr == null) {
return ret;
}
PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(k, new Incompare());
for (int i = 0; i < k; i++) {
priorityQueue.offer(arr[i]);
}
for (int i = k; i < arr.length; i++) {
if (priorityQueue.peek() > arr[i]) {
priorityQueue.poll();
priorityQueue.offer(arr[i]);
}
}
for (int i = 0; i < k; i++) {
ret[i] = priorityQueue.poll();
}
return ret;
}
}
// 创建新的比较器
class Incompare implements Comparator<Integer> {
@Override
public int compare(Integer o1, Integer o2) {
return o2.compareTo(o1);
}
}
好啦！本期 数据结构之探索“堆”的奥秘 的学习之旅就到此结束啦！我们下一期再一起学习吧！
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